Определение что такое материальная точка. Материальная точка. Описание. Понятие. Определение

Материальная точка бесконечно малое тело, обладающее массой, формой которого можно пренебречь. Это простейшее, идеализированное тело, геометрическими размерами которого малы, а для определения его в пространстве нужно всего 3 координаты. Вращением материальной точки так же пренебрегают. Считают, что внутри материальной точки, нет никаких сил. Она не сжимается, не растягивается а, является абсолютно упругой. Масса материальной точки неизменна во времени, и не зависит ни от каких других условий.

Рисунок 1 - замена тела материальной точкой.

Понятие материальной точки вводится в механику для упрощения описания движения материальных тел. Тело произвольной формы, обладающее к том уже и упругостью может совершать и поступательное и вращательное движение. Также оно может деформироваться. То есть отдельные точки тела кроме того что движутся вместе с телом еще и совершают движение относительно него. В общем случае движение тела произвольной формы имеет достаточно сложный характер и его трудно описать.

Как раз для упрощения описания такого движения и вводится понятие материальной точки. Полагают, что она обладает массой описываемого тела, но бесконечно малыми размерами. При этом совершает только поступательное движение. Материальная точка используется для определения центра масс. Это как раз и есть точка, которая обладает массой распределённой по объему тела.

Рисунок 2 - материальная точка.

Понятно, что нельзя вот так просто взять и заменить тело сложной форы предельно упрощённой моделью. Для этого необходимо выполнение некоторых условий. Основным, из которых, является: размеры тела должны быть во много раз меньше чем проходимое им расстояние. Также важным фактором, влияющим на возможность замены реального тела упрощённой моделью, являются условия проведения эксперимента и ожидаемый результат.

Допустим что по условиям эксперимента нужно определить время, за которое поезд пройдет расстояние от пункта A в пункт B, зная его скорость. В этом случае нам все равно, какую имеет форму поезд, и из скольких вагонов состоит состав. Так как мы знаем его скорость. Его можно представить в виде материальной точки. Но если нам нужно определить сопротивление воздуха, оказываемое поезду при движении на больших скоростях. Представлять его в виде материальной точки бессмысленно. Так как именно от формы поезда и зависит результат данного эксперимента.

А что же делать в случае, когда тело нельзя представить в виде материальной точки. В силу того что оно обладает сложной формой. И отдельные его части движутся не только с линейной, но и с угловой скоростью. Тогда тело представляют в виде суммы отдельных материальных точек. Которые будут совершать только поступательное движение.

Определение

Материальной точкой называется макроскопическое тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь при описании его движения.

Вопрос о том, можно ли данное тело рассматривать как материальную точку, зависит не от размеров этого тела, а от условий решаемой задачи. Например, радиус Земли значительно меньше расстояния от Земли до Солнца, и ее орбитальное движение можно хорошо описать как движение материальной точки с массой, равной массе Земли и расположенной в ее центре. Однако при рассмотрении суточного движения Земли вокруг собственной оси замена ее материальной точкой не имеет смысла. Применимость модели материальной точки к конкретному телу зависит не столько от размеров самого тела, сколько от условий его движения. В частности, в соответствии с теоремой о движении центра масс системы при поступательном движении любое твёрдое тело можно считать материальной точкой, положение которой совпадает с центром масс тела.

Масса, положение, скорость и некоторые другие физические свойства материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение.

Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки. В классической механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами. При аксиоматическом подходе к построению классической механики в качестве одной из аксиом принимается следующее:

Аксиома

Материальная точка - геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр, называемый массой: $(r,m)$, где $r$ - вектор в евклидовом пространстве, отнесённом к какой-либо декартовой системе координат. Масса полагается постоянной, независящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени.

Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пространстве. Вместе с этим модель движения тела, описываемого материальной точкой, которое заключается в изменении её расстояния от некоторого мгновенного центра поворота и двух углов Эйлера, которые задают направление линии, соединяющей эту точку с центром, чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.

Метод изучения законов движения реальных тел путём исследования движения идеальной модели - материальной точки - является основным в механике. Любое макроскопическое тело можно представить как совокупность взаимодействующих материальных точек g, с массами, равными массам его частей. Изучение движения этих частей сводится к изучению движения материальных точек.

Ограниченность применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы - важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами. В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары металлов, и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.

Задание 1

а) автомобиль, въезжающий в гараж;

б) автомобиль на трассе Воронеж - Ростов?

а) автомобиль, въезжающий в гараж, нельзя принять за материальную точку, так как в данных условиях существенны размеры автомобиля;

б) автомобиль на трассе Воронеж-Ростов можно принять за материальную точку, так как размеры автомобиля намного меньше расстояния между городами.

Можно ли принять за материальную точку:

а) мальчика, который по дороге из школы домой проходит 1 км;

б) мальчика, делающего зарядку.

а) Когда мальчик, возвращаясь из школы, проходит до дома расстояние в 1 км, то мальчика в этом движении можно рассматривать как материальную точку, потому что его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое он проходит.

б) когда тот же мальчик выполняет упражнения утренней зарядки, то материальной точкой считать его никак нельзя.

Для описания движения тела нужно знать, как движутся различные его точки. Однако в случае поступательного движения все точки тела движутся одинаково. Поэтому для описания поступательного движения тела достаточно описать движение одной его точки.

Также во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно описывать как точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Слово «материальная» подчеркивает здесь отличие этой точки от геометрической. Геометрическая точка не обладает никакими физическими свойствами. Материальная точка может обладать массой, электрическим зарядом и другими физическими характеристиками.

Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других – нет. Так, например, рассматривая движение корабля из одного морского порта в другой, корабль можно считать материальной точкой. Однако, при исследовании движения шарика, который катится по палубе корабля, корабль считать материальной точкой нельзя. Движение зайца, убегающего по лесу от волка, можно описывать, приняв зайца за материальную точку. Но нельзя считать зайца материальной точкой, описывая его попытки спрятаться в нору. При изучении движения планет вокруг Солнца их можно описывать материальными точками, а при суточном вращении планет вокруг своей оси такая модель неприменима.

Важно понимать, что в природе материальных точек не существует. Материальная точка – это абстракция, модель для описания движения.

Примеры решения задач по теме «Материальная точка»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

Cтраница 1

Понятие материальной точки - абстрактное, но его введение облегчает решение практических задач.  

Понятием материальной точки пользуются в тех случаях, когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием, пройденным им при движении, а также при изучении поступательного движения тела, при котором все его точки за одно и то же время проходят одинаковые пути. Например, Землю можно считать материальной точкой при изучении ее движения вокруг Солнца, но при изучении движения тел на поверхности Земли ее следует считать протяженной.  

Понятием материальной точки, представляющим собой известное абстрагирование от реальных свойств движущихся тел, широко пользуются в механике, так как введение этого понятия вносит значительное упрощение в исследование движения тел.  

К понятию материальной точки, безусловно, привели наблюдаемы тела; материальную точку можно себе представить подобной лишенному признаков протяженности, формы, пространственной ориентации, всех внутренних свойств, сохранившему лишь инерцию и трансляцию, движущемуся телу, к которому добавляется лишь понятие силы. Материальные тела, которые психологически вызвали образование понятия материальная точка, со своей стороны сами должны были теперь рассматриваться как система материальных точек. Необходимо отметить, что по своей сущности эта теоретическая система является атомистической и механистической. Ньютона простые движения материальных точек.  

Можно воспользоваться понятием материальной точки для изучения поступательного движения абсолютно твердого тела, так как все точки движутся одинаково. Для определения положения материальной точки в пространстве и описания ее движения необходимы следующие понятия.  

Естественно, что понятие материальной точки является абстракцией, что никаких материальных точек в природе нет. Однако постановка ряда задач механики такова, что позволяет с успехом пользоваться этой абстракцией.  

В каких случаях пользуются понятием материальной точки.  

Принципиальным для классической механики является понятие материальной точки. По сути вся она и строится на основании законов движения материальной точки, постепенно усложняясь и переходя к рассмотрению все более сложных объектов - и так вплоть до механики жидкости и газа.  

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки.  

Однако этими случаями не ограничивается применение понятия материальной точки. Оно оказывается полезным и при более сложных видах движения. Представим себе, что по какой-нибудь поверхности катится шарик. При этом движении центр шарика описывает какую-то линию (прямую или кривую), траектории же остальных его точек представляют собой различ ные сложные кривые линии.  

При формулировании основных законов динамики пользуются понятием материальной точки. Под материальной точкой понимают тело конечной массы, размерами и различием в движении отдельных точек которого по условиям задачи можно пренебречь. В дальнейшем будет показано, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.  

Для построения моделей механических систем важнейшей абстракцией является понятие материальной точки. Под материальной точкой понимается физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Эквивалентность в геометрическом смысле означает отсутствие у материальной точки геометрической внутренней структуры, формы и размеров.  

Для построения моделей механических систем важнейшей абстракцией является понятие материальной точки. За материальную точку принимают материальное тело, размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстояниями между телами. В предельном случае это понятие превращается в понятие математической точки.  

Так, например, в механике при анализе движения тел пользуются понятием материальной точки, но нельзя просто сказать, что данное тело можно считать материальной трчкой; нужно обязательно прибавить, в каком движении это тело можно считать точкой.  

При решении целой совокупности задач можно отвлечься от формы и размеров тела и рассматривать его как материальную точку.

Определение

Материальной точкой в физике называют тело, имеющее массу, но размерами которого, в сравнении с расстояниями до других тел, в рассматриваемой задаче можно пренебречь.

Понятие «материальная точка»

Понятие «материальная точка» - это абстракция. В природе материальных точек не существует. Но постановка некоторых задач механики дает возможность использовать данную абстракцию.

Когда мы говорим о точке в кинематике, то ее можно рассматривать как математическую точку. В кинематике под точкой понимается небольшая метка на теле или само тело, если его размеры малы в сравнении с теми расстояниями, которое тело преодолевает.

В таком разделе механики, как динамика, нужно уже говорить о материальной точке, как точке, которая обладает массой. Основные законы классической механики относятся к материальной точке, телу, которое не имеет геометрических размеров, но имеет массу.

В динамике размеры и форма тела во многих случаях не оказывает влияние на характер движения, в этом случае тело можно рассматривать как материальную точку. Но в других условиях, это же тело точкой считать нельзя, так как его форма и размер оказываются решающими в описании движения тела.

Так, если человека интересует какое количество времени необходимо автомобилю, чтобы доехать от Москвы до Тюмени, то совершенно не обязательно знать, как движется при этом каждое из колес машины. Но, если автомобилист пытается втиснуть свой автомобиль на узкое парковочное место, принимать машину за материальную точку нельзя, так как имеют значение размеры автомобиля. Можно принимать Землю за материальную точку, если мы рассматриваем движение нашей планеты вокруг Солнца, но так нельзя поступить, при изучении ее движения вокруг собственной оси, если мы пытаемся установить причины, по которым день сменяет ночь. Так, одно и то же тело в одних условиях можно рассматривать как материальную точку, в других условиях этого делать нельзя.

Существуют некоторые виды движения, в которых тело можно смело принимать за материальную точку. Так, например, при поступательном движении твердого тела все его части движутся одинаково, поэтому в таком движении тело обычно рассматривают как точку с массой, которая равна массе тела. Но если это же тело вращается вокруг своей оси, то его за материальную точку принять нельзя.

И так, материальная точка является простейшей моделью тела. Если тело можно уподобить материальной точке, то это существенно упрощает решение задачи по изучению его движения.

Разные виды движения точки различают, в первую очередь, по виду траектории. В том случае, если траекторией движения точки является прямая линия, то движение называют прямолинейным. В отношении движения макроскопического тела имеет смысл говорить о прямолинейном или криволинейном движении тела только тогда, когда можно при описании движения ограничиться рассмотрением перемещения одной точки этого тела. У тела, в общем случае разные точки могут совершать разные типы движения.

Система материальных точек

Если тело нельзя принять за материальную точку, то его можно представить в виде системы материальных точек. При этом тело мысленно делят на бесконечно малые элементы, каждый из которых можно принять за материальную точку.

В механике каждое тело можно представить в виде системы материальных точек. Имея законы движения точки, мы можем считать, что у нас есть метод описания любого тела.

В механике существенную роль играет понятие абсолютно твердого тела, которое определяют как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны, при любых взаимодействиях этого тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. В каком случае тело можно считать материальной точкой:

Спортсмен на соревнованиях бросает ядро. Ядро можно считать материальной точкой?

Шар вращается вокруг своей оси. Шар - это материальная точка?

Гимнастка выполняет упражнение на брусьях.

Бегун преодолевает дистанцию.

Пример 2

Задание. При каких условиях движущийся вверх камень можно считать материальной точкой. См. рис.1 и рис.2.

Решение: На рис. 1 размеры камня нельзя считать малыми в сравнении с расстоянием до него. В этом случае камень нельзя считать материальной точкой

На рис. 2 камень вращается, следовательно, его нельзя считать материальной точкой.

Ответ. Камень, брошенный вверх можно считать материальной точкой, если его размеры будут малы в сравнении с расстоянием до него, и он будет двигаться поступательно (вращения не будет).